《宋史》卷三十一· 脱脱,阿鲁图

觀天曆

　　步交會

　　交終分：三十二萬七千三百六十一、秒九千九百四十四。

　　交終日：二十七、餘二千五百五十一、秒九千九百四十四。

　　交中日：一十三、餘七千二百九十、秒九千九百七十二。

　　朔差日：二、餘三千八百三十一、秒五十六。

　　望策：一十四、餘九千二百六、秒五千。

　　後限日：一、餘一千九百一十五、秒五千二十八。

　　前限日：一十二、餘五千三百七十五、秒四千九百四十四。

　　以上秒母同一萬。

　　交率：一百八十三。

　　交數：二千三百三十一。

　　交終度：三百六十三分七十六。

　　交中度：一百八十一分八十八。

　　交象度：九十分九十四。

　　半交象度：四十五分四十七。

　　陽曆食限：四千九百，定法四百九十。

　　陰曆食限：七千九百，定法七百九十。

　　求天正十一月經朔加時入交汎日：置天正十一月經朔加時積分，以交終分及秒去之，不盡，滿統法為日，不滿為餘秒，即天正十一月經朔加時入交汎日及餘秒。

　　求次朔及望加時入交汎日：置天正經朔加時入交汎日及餘秒，求次朔，以朔差加之；求望，以望策加之，滿交終日及餘秒去之，即次朔及望加時入交汎日及餘秒。若以經朔小餘減之，餘為夜半入交汎日。

　　求定朔望夜半入交汎日：置經朔、望夜半入交汎日，若定朔、望大餘有進退者，亦進退交日，否則因經為定，即定朔望夜半入交汎日及餘秒。

　　求次朔夜半入交汎日：置定朔夜半入交汎日及餘秒，大月加二日，小月加一日，餘皆加九千四百七十八、秒五十六，求次日，累加一日，滿交終日及餘秒去之，即次定朔及每日夜半入交汎日及餘秒。

　　求朔望加時入交常日：置經朔、望入交汎日及餘秒，以其朔、望入盈縮限朏朒定數朏減朒加之，即朔、望加時入交常日及餘秒。

　　求朔望加時入交定日：置其朔、望入轉朏朒定數，以交率乘之，交數而一，所得，以朏減朒加入交常日及餘秒，滿與不足，進退其日，即朔、望加時入交定日及餘秒。

　　求月行入陰陽曆：置其朔、望入交定日及餘秒，在交中已下為月行陽曆；已上去之，餘為月行陰曆。

　　求朔望加時月行入陰陽曆積度：置月行入陰陽曆日及餘秒，以統法通日，內餘，九而一為分，分滿百為度，即朔望加時月行入陰陽曆積度及分。

　　求朔望加時月去黃道度：置入陰陽曆積度及分，如交象已下為入少象；已上，覆減交中度，餘為入老象。皆列於上，下列交中度，相減相乘，進位，如一百二十八而一，為汎差。又視入老、少象度，如半交象已下為初；已上去之，餘為末。皆二因，退位，初減末加汎差，滿百為度，即朔、望加時月去黃道度及分。

　　求日月食甚定餘：置定朔小餘，如半統法已下，與半統法相減相乘，如三萬六千九十而一為時差，以減；如半統法已上減去半統法，餘亦與半統法相減相乘，如一萬八千四十五而一為時差，午前以減，午後以加：皆加、減定朔小餘，為日食甚小餘；與半法相減，餘為午前、後分。其月食者，以定望小餘為月食甚小餘。

　　求日月食甚辰刻：各置食甚小餘，倍之，以辰法除之為辰數，不滿，五因，滿刻法而一為刻，不滿為分。其辰數命子正，算外，即食甚辰刻及分。若加半辰，即命起子初。

　　求氣差：置其朔盈、縮限度及分，自相乘，進二位，盈初縮末一百九十七而一，盈末縮初二百一十九而一，皆用減四千一十，為氣汎差；以乘午前、後分，如半晝分而一，所得，以減汎差，為定差。春分後，交初以減，交中以加；秋分後，交初以加，交中以減。如食在夜，反用之。

　　求刻差：置其朔盈、縮限度及分，與半周天相減相乘，進二位，二百九而一，為刻汎差；以乘午前、後分，如三千七百半而一，為定差。冬至後午前、夏至後午後，交初以加，交中以減；冬至後午後、夏至後午前，交初以減，交中以加。

　　求日入食限交前後分：置朔入交定日及餘秒，以氣、刻、時三差各加減之，如交中日已下為不食；已上去之，如後限已下為交後分；前限已上覆減交中日，餘為交前分。

　　求日食分：置交前後分，如陽曆食限已下為陽曆食定分；已上，用減一萬二千八百，餘為陰曆食定分；如不足減者，日不食。各如定法而一為大分，不盡，退除為小分。小分半已上為半彊，已下為半弱。命大分以十為限，即得日食之分。

　　求日食汎用分：置日食定分，退二位，列於上，在陽曆列九十八於下，在陰曆列一百五十八於下，各相減相乘，陽以二百五十而一，陰以六百五十而一，各為日食汎用分。

　　求月入食限交前後分：置望月行入陰陽曆日及餘秒，如後限已下為交後分；前限已上覆減交中日，餘為交前分。

　　求月食分：置交前後分，如三千七百已下，為食既；已上，覆減一萬一千七百，不足減者為不食。餘以八百而一為大分，不盡，退除為小分。小分半已上為半強，已下為半弱。命大分以十為限，即得月食之分。

　　求月食汎用分：置望交前、後分，自相乘，退二位，交初以一千一百三十八而一，用減一千二百三，交中以一千二百六十四而一，用減一千八十三，各為月食汎用分。

　　求日月食定用分：置日月食汎用分，以一千三百三十七乘之，以定朔、望入轉算外轉定分而一，所得，為日月食定用分。

　　求日月食虧初復滿小餘：置日月食甚小餘，以定用分減之，為虧初；加之，為復滿：即各得所求小餘。若求辰刻，依食甚術入之。

　　求月食更籌法：置望辰分，四因，退位，為更法；五除之，為籌法。

　　求月食入更籌：置虧初、食甚、復滿小餘，在晨分已下加晨分，昏分已上減去昏分，皆以更法除之為更數，不盡，以籌法除之為籌數。其更、籌數命初更，算外，即各得所入更、籌。

　　求日月食甚宿次：置朔望之日晨前夜半黃道日度及分，以統法約日月食甚小餘，加之，內月食更加半周天，各依宿次去之，即日月食甚所在宿次。

　　求月食既內外刻分：置月食交前、後分，覆減三千七百，如不足減者，為食不既。退二位，列於上，下列七十四，相減相乘，進位，如三十七而一，所得，以定用分乘之，如汎用分而一，為既內分；以減定用分，餘為既外分。

　　求日月帶食出入所見之分：各以食甚小餘與日出、入分相減，餘為帶食差；其帶食差在定用分已上，為不帶食出入。以乘所食之分，滿定用分而一，若月食既者，以既內分減帶食差，餘乘所食之分，如既外分而一，所得，以減既分，如不足減者，為帶食既出入。以減所食之分，餘為帶食出、入所見之分。

　　求日食所起：日在陽曆，初起西南，甚於正南，復滿東南；日在陰曆，初起西北，甚於正北，復滿東北。其食八分已上者，皆起正西，復滿正東。此據午地而論之，當審黃道斜正可知。

　　求月食所起：月在陽曆，初起東北，甚於正北，復滿西北；月在陰曆，初起東南，甚於正南，復滿西南。其食八分已上者，皆起正東，復滿正西。此據午地而論之，當審黃道斜正可知。

　　步五星

　　五星曆策：一十五度、約分二十一、秒九十。

　　木星周率：四百七十九萬八千五百二十六、秒九十二。

　　周日：三百九十八、餘一萬五百八十六、秒九十二。

　　歲差：一百一十六、秒七十二。

　　伏見度：一十三半。

步五星

五星曆策：一十五度、約分二十一、秒九十。
木星周率：四百七十九萬八千五百二十六、秒九十二。
周日：三百九十八、餘一萬五百八十六、秒九十二。
歲差：一百一十六、秒七十二。
伏見度：一十三半。

木星盈縮曆

火星周率：九百三十八萬二千五百六十、秒七十六。
周日：七百七十九、餘一萬一千一百九十、秒七十六。
歲差：一百一十六、秒一十三。

火星盈縮曆

土星周率：四百五十四萬八千四百三十一、秒八十五。
周日：三百七十八、餘一千九十一、秒八十五。
歲差：一百一十六、秒三十。
伏見度：一十六半。

土星盈縮曆

金星周率：七百二萬四千三百二十一、秒三十四。
周日：五百八十三、餘一萬八百三十一、秒三十四。
歲差：一百一十六、秒六十九。
伏見度：一十一半。

金星盈縮曆

水星周率：一百三十九萬四千二、秒七。
周日：一百一十五、餘一萬五百五十二、秒七。
歲差：一百一十六、秒四十。
夕見晨伏度：一十五。
晨見夕伏度：二十一。

水星盈縮曆

　　求五星天正冬至後平合中積中星：置天正冬至氣積分，各以其星周率去之，不盡，用減周率，餘滿統法約之為度，不滿，退除為分秒，命之為平合中積；因而重列之為平合中星，各以前段變日加平合中積，又以前段變度加平合中星，其經退行者即減之，各得五星諸變中積中星。

　　求五星入曆：各以其星歲差乘所求積年，滿周天分去之，不盡，以統法約之為度，不滿，退除為分秒，以減平合中星，為平合入曆度及分秒。求諸變者，各以前段限度累加之，為五星諸變入曆度及分秒。

　　求五星諸變盈縮定差：各置其星其變入曆度及分秒，如半周天已下為盈；已上去之，為縮；以五星曆策度除之為策數，不盡，為入策度及分秒；以其策下損益率乘之，如曆策而一為分，分滿百為度，以損益其下盈縮積度，即五星諸段盈縮定差。

　　求五星平合及諸變定積：各置其星其變中積，以其段盈縮定差盈加縮減之，即其段定積日及分；以天正冬至大餘及約分加之，滿統法去之，不盡，命甲子，算外，即定日辰及分。

　　求五星諸變入所在月日：各置其星其變定積，以天正閏日及約分加之，滿朔策及約分除之為月數，不盡，為入月已來日數。命月數起天正十一月，算外，即其星其段入其月經朔日數及分。乃以其朔日、辰相距，即所在月、日。

　　求五星平合及諸變加時定星：各置其星其變中星，以盈縮定差盈加縮減之，內金倍之，水三之，然後加減，即五星諸段定星；以天正冬至加時黃道日度加而命之，即其星其段加時所在宿度及分秒。五星皆因留為後段初日定星，餘依術算。

　　求五星諸變初日晨前夜半定星：各以其段初行率乘其段加時分，百約之，以順減退加其日加時定星，即為其星其段初日晨前夜半定星。加命如前，即得所求。

　　求諸變日率度率：各以其段日辰距至後段日辰，為其段日率；以其段夜半定星與後段夜半定星相減，餘為其段度率。

　　求諸變平行分：各置其段度率，以其段日率除之，為其段平行度及分秒。

　　求諸變總差：各以其段平行分與後段平行分相減，餘為汎差；併前段汎差，四因，退一位，為總差。若前段無平行分相減為汎差者，因後段初日行分與其段平行分相減，為半總差，倍之，為總差。若後段無平行分相減為汎差者，因前段末日行分與其段平行分相減，為半總差，倍之，為總差。其在再行者，以本段平行分十四乘之，十五而一，為總差。內金星依順段術求之。

　　求初末日行分：各半其段總差，加減其段平行分，後行分少，加之為初，減之為末；後行分多，減之為初，加之為末。退行者，前段減之為初，加之為末；後段加之為初，減之為末。為其星其段初、末日行分。

　　求每日晨前夜半星行宿次：置其段總差，減日率一，以除之，為日差；累損益初日行分，後行分少，損之；後行分多，益之。為每日行度及分秒；乃順加退減其星其段初日晨前夜半定星，命之，即每日夜半星行所在宿次。

　　徑求其日宿次：置所求日，減一，半之，以日差乘而加減初日行分，後行分少，減之；後行分多，加之算。以所求日乘之，為積度；以順加退減其星其段初日夜半宿次，即所求日夜半宿次。

　　求五星合見伏行差：木、火、土三星，以其段初日星行分減太陽行分，為行差。金、水二星順行者，以其段初日太陽行分減星行分，為行差。金、水二星退行者，以其段初日星行分并太陽行分，為行差。內水星夕伏、晨見，直以太陽行分為行差。

　　求五星定合見伏汎用積：木、火、土三星，各以平合晨疾、夕伏定積，便為定合見、伏汎用積。金、水二星各置其段盈縮定差，內水星倍之，以其段行差除之為日，不滿，退除為分，在平合夕見、晨伏者，盈減縮加定積，為定合見、伏汎用積；在退合夕伏、晨見者，盈加縮減定積，為定合見、伏汎用積。

　　求五星定合定積定星：木、火、土三星，以平合行差除其日盈縮分，為距合差日；以盈縮分減之，為距合差度；以差日、差度盈減縮加其星定合汎用積，為其星定合定積、定星。金、水二星順合者，以平合行差除其日盈縮分，為距合差日；以盈縮分加之，為距合差度；以差日、差度盈加縮減其星定合汎用積，為其星定合定積、定星。金、水二星退合者，以平合行差除其日盈縮分，為距合差日；以減盈縮減之分，為距合差度；以差日盈減縮加，以差度盈加縮減再定合汎用積，為其星再定合定積、定星。各以天正冬至大餘及約分加定積，滿統法去之，命甲子，算外，即得定合日辰；以天正冬至加時黃道日度加定星，依宿次去之，即得定合所在宿次。

　　求五星定見伏定積：木、火、土三星以汎用積晨加、夕減一象，如半周天已下自相乘，已上，覆減一周天，餘亦自相乘，七十五而一，所得，以其星伏見度乘之，十五而一為差，如其段行差除之為日，不滿，退除為分，見加伏減汎用積，為其星定見、伏定積。金、水二星以行差除其日盈縮分為日，在夕見、晨伏，盈加縮減汎用積，為常用積；夕伏、晨見，盈減縮加汎用積，為常用積；如常用積在半周天已下為冬至後；已上去之，餘為夏至後。各在一象已下自相乘，已上，覆減一周天，餘亦自相乘，冬至後晨、夏至後夕，以十八而一；冬至後夕、夏至後晨，以七十五而一，所得，以其星伏見度乘之，十五而一為差，如其段行差除之為日，不滿，退除為分，冬至後晨見、夕伏，夏至後夕見、晨伏，以加常用積，為其星定見、伏定積；冬至後夕見、晨伏，夏至後晨見、夕伏，以減常用積，為其星定見、伏定積；加命如前，即得定見、伏日辰。